数学的困境(上) -- 失效的结合律

面对抉择，一个人是应该相信自己的眼睛，还是相信自己的大脑，这就是数学家目前面临的困境。

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直觉和形式化

数学发展依靠两大支柱，首先是直觉，其次是形式化。所谓直觉，就是对外界观察结果的抽象总结。

比如数字，我们看到手上的五个指头，看到篮子中鸡蛋数量的多寡，所以发明了自然数。自然数表现的各种属性与我们的观察完全一致，所以我们相信它是正确的。再比如平面几何中的点、线、面以及圆这些概念都可以直接对应到具体的物体，所抽象的属性都与观察结果没有区别。当我们说数学符合直觉，等于说数学可以通过对外在世界的测量进行验证。

除了直觉外，数学的另一基础是形式化，也就是建立在纯粹抽象符号上的各种运算。比如当计算机在进行复杂运算时，所有的操作都是在处理各个存储单元里面的0或1。这些0和1的组合到底是代表人口，代表财富，代表天气，还是代表明星的生活，电脑本身并不知道，也不在意，它只是按照既定的算法处理那些0和1。如果输入的数据和运算的算法都正确，那么人们就相信结果是正确的，这种信心就是对形式化的信心。

人们对形式化方法的信心建立在首先它的结果不会自相矛盾，其次它结果必须和客观观测相一致。古典数学很完美地符合这两点，所以人们对形式化的数学敬若神明。在那个时代，形式化和直觉和谐共处，一家人其乐融融。

然而当人们的探索从有限的客观世界进入无限的思维领域时，发生了两大变化：

第一是不能依靠直觉，因为直觉是建立在有限世界的经验之上，并且可以通过测量进行验证，而人类并没有对于无限的直接经验，也没有任何客观的工具可以测量无限。

第二是形式化方法出现了种种自相矛盾，比如无穷小和罗素悖论，为了修补这些矛盾人们做出许多牺牲，打了各种补丁。这些修补工作把光明圣洁的数学女神推下神坛，丧失了纯粹理性的光环，变得如同一个妓馆陪笑的歌女一般媚俗。

面对这种困境，数学家分裂成两大阵营，一个是相信大脑的形式化主义者，他们还在竭尽全力地修补和打磨这个被岁月摧残的雕塑，希望有朝一日能够再次把它捧上神坛。

另一个是相信眼睛的直觉主义者，他们奉行眼见为实这个信条，认为只有建造出来的客观实在才是真正存在的，否认形式化主义者提出的那些永远无法构建的对象的存在性。

造成这种严重分歧的根源到底是什么？是无限。面对无限，许多在有限世界中的公理不再正确，而数学，众所周知是建立在一系列无容置疑的公理之上，而如果我们坚信不疑的公理在无限世界中都会错，那数学的根基又在哪里呢？

下面我们看看哪些基本公理在无限世界中会出错。

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结合律

结合律是算术逻辑的基本公理之一，也是我们小学就学习的基本数学知识，它的数学表达式是：

(a + b) + c = a + (b + c)

我们称它为公理，因为没有更基本的理论可以证明它，同时它又如此显而易见，符合直觉，并且找不到反例，最后根据它，我们又可以建造出更为复杂的数学公式，所以它就是公理了。

然而即使如此简单的公理到无限世界中也会产生矛盾，不信我们看下面这个例子：

1-2+3-4+5-6+7-8+....

这是一个无穷序列，它最后结果是什么呢？我们看看使用两种不同结合律产生的结果。

1-2+3-4+5-6+7-8+.... = (1-2) + (3-4) + (5-6) + ... = -1 -1 -1 -1 ... 

很显然结果是负无穷大。然而我们用另一种结合方法：

1-2+3-4+5-6+7-8+.... =1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+...=1+1+1+1....

显然结果是正无穷。那么这个序列的和怎么会又是正无穷又是负无穷，哪里出了问题，当然是结合律在这种情况下的不适用。如果人们对这个序列感兴趣，正确的解题方法是，令：

S₁ = 1

S₂ = 1 - 2 = -1

S₃ = 1 - 2 +3 = 2

S₄ = 1 - 2 +3 - 4 = -2

....

最后容易证明对任何正整数n,

S_2n-1 = n

S_2n = -n

所以最后序列是在正负无穷之间来回震荡。如果有人认为这个例子中的序列本身是一个震荡的发散序列，因为不收敛，所以结合律受损，那么我下面再给出一个收敛的无穷序列的例子。不过这时还要涉及交换律。

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交换律

交换律是和结合律同样基础的算术逻辑公理。它的数学表达式：

a + b = b + a

下面我们看一看这个序列：

这个序列被称为交错调和级数，根据数学定理，一个无穷交错序列，如果每一项的绝对值单调递减，并且趋于0，那么这个序列收敛。另外如果每两项两项看这个序列，显然任何两项的差都大于0，所以这个序列应该收敛到一个正数。实际上这个序列收敛到ln(2)约等于0.69。其中ln是自然对数。

然而如果我们用交换律对序列重排可以得到：

如果x等于x/2，推出的结果就是x=0，和前面的结论矛盾。由此可见，交换律与结合律即使在收敛的无穷序列中也是失效的。

除了交换律和结合律，我们下面再看看数学证明中特别有效的排中律，如何在无限面前陷入自相矛盾之中。

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